Question

已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer

（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．可得FO∥DC，且FO=DC，又FO=AE．AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，可得线面平行．
（Ⅱ）PA⊥平面ABCD可得∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，．
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，得PM⊥CE，∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．
【解析】
（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．
∴FO∥DC，且FO=DC
∴FO∥AE
又E是AB的中点．且AB=DC．
∴FO=AE．
∴四边形AEOF是平行四边形．
∴AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）连接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角正切为
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，
由三垂线定理，得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角
由△AME∽△CBE，可得，
∴
∴二面角P一EC一D的正切为