Question

设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
【解析】
（Ⅰ）．（2分）
故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（4分）
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．（6分）
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
由于，
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．（10分）
（ⅱ）当a＞0时，由知，其中n为正整数，且有．（12分）
又n≥2时，．
且．
取整数n满足，，且n≥2，
则，
即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（-∞，0]．