Question

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）项m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．

Answer

（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数，所以其值域为[an-1+m，bn-1+m]，由此能求出an和bn．
（2）因为f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数．所以f（x）的值域为[kan-1+m，kbn-1+m]，因m=2，则bn=kbn-1+2（n≥2）．
法一：假设存在常数k＞0，使得数列，由此能求出k的值．
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足．当k=1不符合．当k≠1时，由此能求出k的值．
（3）因为k＜0，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调减函数，所以f（x）的值域为[kbn-1+m，kan-1+m]．由此入手，能求出T2010-S2010．
【解析】
（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[an-1+m，bn-1+m]…（2分）
于是an=an-1+m，bn=bn-1+m（n∈N*，n≥2）…（4分）
又a1=0，b1=1，所以an=（n-1）m，bn=1+（n-1）m．…（6分）
（2）因为f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[kan-1+m，kbn-1+m]，因m=2，则bn=kbn-1+2（n≥2）…（8分）
法一：假设存在常数k＞0，使得数列，得符合．…（12分）
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足．
当k=1不符合．…（9分）
当，
则，…（11分）
当．…（12分）
（3）因为k＜0，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kbn-1+m，kan-1+m]…（14分）
于是an=kbn-1+m，bn=kan-1+m（n∈N*，n≥2）
则bn-an=-k（bn-1-an-1）…（16分）
又b1-a1=1
则有…（18分）