Question

已知函数f（x）=kx³-3x²+1（k≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．

Answer

（1）先分类讨论，当k=0时是二次函数，单调区间很快求出，当k≠0时利用导数在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，可求得函数的单调区间．
（2）讨论k，k=0显然不存在极小值，当k＞0时，根据第一问的单调性可知f（x）的极小值，建立不等关系，求出变量k的范围即可．
【解析】
（I）当k=0时，f（x）=-3x2+1
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0]，单调减区间[0，+∞）．
当k＞0时，f'（x）=3kx2-6x=3kx（x-）
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．
（II）当k=0时，函数f（x）不存在最小值．
当k＞0时，依题意f（）=-+1＞0，
即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）