Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径做圆交BC与D，作DE⊥AC交圆与E．
（1）求证：△ADE是等边三角形
（2）求S_△ABC：S_△ADE．

Answer

（1）由三角形ABC为等边三角形可得三内角都相等，都为60°，又AC为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得AD垂直于BC，求出∠DAC=30°，从而得到∠ADE=60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠AED=60°，利用三角形的内角和定理可得第三个角也为60°，得到三角形ADE三个内角相等，从而得证；
（2）由两三角形都为等边三角形可得三角形ABC与三角形ADE相似，由（1）得到AD与BC垂直，利用三线合一可得D为BC中点，设出三角形ABC三边都为1，可求出CD的长，在直角三角形ACD中利用勾股定理求出AD的长，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求出对应边AB与AD的比值，平方可求出两三角形的面积比．
【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，
∵AC为圆的直径，∴∠ADC=90°，
在直角三角形中，∠ACB=60°可得∠DAC=30°，
∴∠ADE=60°，
又∠AED与∠ACB为圆的圆周角，且都对一条弧，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=180-60°-60°=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED，
∴AD=DE=AE，即△AED为等边三角形；
（2）设BC=AB=AC=1，
由（1）得AD⊥BC，且△ABC为等边三角形，
∴D为BC的中点，即DB=CD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理求得：AD=，
而△ABC∽△ADE，
所以S△ABC：S△ADE=AB2：AD2==4：3．