Question

若直线l：x+my+c=0与抛物线y²=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．
（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．

Answer

设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得y2+2my+2c=0，y1+y2=-2m  y1y2=2c，x1+x2=2m2-2c  x1x2=c2，
（1）当m=-1，c=-2时，要证OA⊥OB．只要证x1x2+y1y2=0 即可
（2）当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0 可求c，此时可求直线l：x+my-2=0及过的定点
（3）要判断△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系，只要判断圆心到准线的距离与半径的大小即可
【解析】
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得y2+2my+2c=0
可知y1+y2=-2m  y1y2=2c，=
∴x1+x2=2m2-2c，=
（1）当m=-1，c=-2时，x1x2+y1y2=0 所以OA⊥OB．
（2）当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0 于是c2+2c=0
∴c=-2（c=0不合题意），此时，直线l：x+my-2=0（3）过定点（2，0）．
（3）由（2）OA⊥OB，知c=-2
由题意AB的中点D（就是△OAB外接圆圆心）到原点的距离就是外接圆的半径．D（m2-c，-m）
而（m2-c+）2-[（m2-c）2+m2]==
∴圆心到准线的距离大于半径，故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离