Question

已知x=3是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x的极值点．
（1）求f（x）的单调区间（用a表示）；
（2）设a＞0，g（x）=（a²+8）e^x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，利用x=3是函数f（x）的极值点，可得-（a+1）≠3即a≠-4，进而分a＞-4与a＜-4，分类讨论，研究函数的单调性；
（2）分别求出gmin（x）与fmax（x），再将问题等价转化为：若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜3，只要gmin（x）-fmax（x）＜3即可，从而解不等式，即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=（2x+a）e3-x+（x2+ax-2a-3）（-1）e3-x
=[-x2+（2-a）x+3a+3]e3-x=-[x2+（a-2）x-3（a+1）]e3-x
=-（x-3）[x+（a+1）]e3-x…（3分）
∵x=3是函数f（x）的极值点
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）当-（a+1）＜3即a＞-4时
当x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（-a-1，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（5分）
（ii）当-（a+1）＞3即a＜-4时
当x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
当x∈（3，-a-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴当x∈[0，3]时f（x）单调递增，当x∈[3，4]时f（x）单调递减
∴当x∈[0，4]时，fmax（x）=f（3）=a+6…（9分）
∵g（x）=（a2+8）ex在x∈[0，4]时是增函数，gmin（x）=g（0）=a2+8…（11分）
又∵
∴gmin（x）＞fmax（x），∴当x∈[0，4]时，g（x）＞f（x）恒成立．
∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜3
只要gmin（x）-fmax（x）＜3即可…（14分）
即
所以a的取值范围为．…（15分）