Question

已知函数f（x）=|x-m|+2m．
（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）≥2对一切x∈R恒成立，试求m的取值范围．

Answer

（I）由f（x）为偶函数利用定义f（-x）=f（x）代入整理可求．
（II）先利用分段函数化简原原函数式，结合函数f（x）在（-∞，m]上递减，在[m，+∞）上递增求出f（x）的最小值，要f（x）≥2对一切x∈R恒成立，只要其最小值≥2即可．
解．（Ⅰ）∵f（x）为偶函数，∴对于x∈R，有f（-x）=f（x），…（2分）
∴|-x-m|+2m=|x-m|+2m，∴m=0…（4分）
（Ⅱ）∵，…（6分）
∴函数f（x）在（-∞，m]上递减，在[m，+∞）上递增，…（8分）
∴f（x）min=f（m）=2m，
要f（x）≥2对一切x∈R恒成立，只要2m≥2，即m≥1…（10分）