Question

对任意实数a，b，c，下列命题：（1）“a=b”是“ac=bc”的充分条件；（2）“a+1是无理数”是“a是无理数”的必要条件；（3）“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

Answer

“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，故（1）为真命题；“a+1是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，
“a是无理数”⇒“a+1是无理数”也为真命题，故（2）为真命题；“a＜5”⇒“a＜3”为假命题，
“a＜3”⇒“a＜5”为真命题，故（3）为真命题．
【解析】
∵（1）中“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，
但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，
故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故（1）为真命题；
∵（2）中“a+1是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，
“a是无理数”⇒“a+1是无理数”也为真命题，
故“a+1是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故（2）为真命题；
∵（3）中“a＜5”⇒“a＜3”为假命题，
“a＜3”⇒“a＜5”为真命题，
故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故（3）为真命题．
故选C．