Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上的点时，点是函数y=g（x） 图象上的点．
（1）写出函数y=g （x） 的表达式；
（2）当g（x）-f （x）≥0时，求x的取值范围；
（3）当x在 （2）所给范围内取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer

（1）令 =X，=Y，由题设条件知 Y=log2（3X+1），再由（X，Y）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式．
（2）由题意知 ．由对数函数的性质可得 ，解不等式组即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）由题设条件知 ．由此可知结合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．
【解析】
（1）令X=，Y=，
∴x=3X，y=2Y，
∵点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上，
∴2Y=log2（3X+1），
即Y=log2（3X+1），
∴g （x）=log2（3x+1）（x＞-）；
（2）由g（x）-f （x）≥0，得log2（3x+1）-log2（x+1）≥0，
∴，
解得0≤x≤1；
∴x的取值范围为0≤x≤1；
（3）∵因为0≤x≤1，
所以 ．
当且仅当3x+1=2时，即 x=时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为 =log23-．