Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer

（I）欲证AC1⊥平面A1BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC1与平面A1BC内两相交直线垂直，BC⊥AC1，又BA1⊥AC1，满足定理条件；
（II）取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，从而CH就是CC1到平面A1AB的距离，在Rt△BCF中，求出CH即可；
（III）过H作HG⊥A1B于G，连CG，根据二面角平面角的定义知∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角，在Rt△CGH中求出此角的正弦值即可．
（I）证明：因为A1D⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，
得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1
所以AC1⊥平面A1BC；（4分）

（II）【解析】
因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，
故AA1=AC=2，又D为AC中点，知∠A1AC=60°．
取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而面A1AB⊥面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，
在Rt△BCF中，，故，
即CC1到平面A1AB的距离为（9分）
（III）【解析】
过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B，
从而∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角，
在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以，
在Rt△CGH中，，
故二面角A-A1B-C的大小为．（14分）