Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，试比较的大小．

Answer

（1）由Sn+1=2λSn+1知S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1，由此可求出λ=1．
（2）由题意可知Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，由此可知an=2n-1．
（3）由题意知Tn=1•2+2•21+3•22++（n-1）•2n-2+n•2n-1，再写一式，相减由此可知Tn的值，再进行大小比较．
【解析】
（1）由Sn+1=2λSn+1得S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1，∴a3=S3-S2=4λ2，∵a3=4，λ＞0，∴λ=1．
（2）由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2（Sn+1），∴数列{Sn+1+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，∴an=2n-1．
（3）Tn=1•2+2•21+3•22++（n-1）•2n-2+n•2n-1，①2Tn=1•2+2•22+3•23++（n-1）•2n-1+n•2n，②
①-②化简得Tn=n•2n-2n+1．∴=n•2n-1-2n-1+1，∴
从而有n=1或2时，，n≥3时，