Question

将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记a_ij是这个数表的第i行第j列的数．例如a₄₃=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为b_n，
数列{f（b_n）}的前n项和为T_n，求证．

Answer

（Ⅰ）由题设条件，得用等到差数列求和公式直接计算即可．
（Ⅱ）由2009=2×1005-1，知2009是正奇数列的第1005个数．设2009这个数位于第m行，前m-1行共有个数，所以，由此能求出2009这个数位于第几行第几列．
（Ⅲ）第n行的第一个数为，第n行各数形成以n2-n+1为首项，2为公差的等差数列
故．所以，再由错位相减法能够证明．
【解析】
（Ⅰ）…（3分）
（Ⅱ）∵2009=2×1005-1，
∴2009是正奇数列的第1005个数．…（5分）
设2009这个数位于第m行，前m-1行共有个数，…（7分）
则，
又m∈N+，∴m=45…（8分）
故前44行共有990个数，
第45行的第1个数是2×991-1=1981…（9分）
2009=1981+2（n-1），∴n=15
故2009位于第45行第15列．…（10分）
（Ⅲ）证明：第n行的第一个数为，
第n行各数形成以n2-n+1为首项，2为公差的等差数列
故…（12分）
∴…（1）
…（2）
（1）-（2）整理得：＜．…（14分）