Question

已知x+2y+3z=1，则x²+y²+z²取最小值时，x+y+z的值为    ．

Answer

由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），故x2+y2+z2≥，当且仅当 取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，由此能求出x+y+z的值．
【解析】
由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）
故x2+y2+z2≥，当且仅当 取等号，
此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，
∴x=，y=，x=，
x+y+z=．
故答案为：．