Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，关于数列{a_n}有下列四个命题：
①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则S_n=na₁；
②若S_n=2+（-1）ⁿ，则{a_n}是等比数列；
③若S_n=an²+bn（a，b∈R），则{a_n}是等差数列；
④若S_n=pⁿ，则无论p取何值时{a_n}一定不是等比数列．
其中正确命题的序号是    ．

Answer

对于①，直接根据既是等差数列又是等比数列的数列特点来判断即可；
对于②④，直接利用其前n项和，求出通项公式即可判断；
对于③，直接利用等差数列前n项和公式即可的出结论．
【解析】
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既an=a1，则Sn=na1成立；
②若Sn=2+（-1）n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-1）n-1-（-1）n，而a1=2+（-1）1=1不适合上式，所以{an}不是等比数列，
③因为{an}是等差数列时，符合Sn=an2+bn（a，b∈R）的形式，故③成立；
④若Sn=pn，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1（p-1），而a1=S1=p不适合上式，所以{an}不是等比数列；
故只有①③④为真命题．
故答案为：①③④．