Question

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点均可导的函数，若xf^/（x）＞f（x）在x＞0时恒成立．
（1）求证：函数在（0，+∞）上是增函数；
（2）求证：当x₁＞0，x₂＞0时，有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）；
（3）请将（2）问推广到一般情况，并证明你的结论．

Answer

①利用商的导数法则求的导数，由已知知其大于0，所以单增．
②利用①的结论及x1+x2＞x2，和x1+x2＞x1，证出不等式
③与正整数有关的命题用数学归纳法证
【解析】
（1）由得，因为xf/（x）＞f（x），
所以g/（x）＞0在x＞0时恒成立，所以函数在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数在（0，+∞）上是增函数，所以当x1＞0，x2＞0时，
有成立，（5分）
从而，
两式相加得f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）．
（3）推广到一般情况为：
若xi＞0（i=1，2，3n），则f（x1+x2+…+xn）＞f（x1）+f（x2）+…+f（xn），n∈N，n≥2．
以下用数学归纳法证明
（1）当n=2时，有（2）已证成立，
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即f（x1+x2+…+xk）＞f（x1）+f（x2）+…+f（xk）
那么当n=k+1时，f（x1+x2+…+xk+xk+1）＞f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f（x1）+f（x2）+…+f（xk）+f（xk+1）
成立，即当n=k+1时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切n∈N，n≥2时都成立．（12分）