Question

设函数f（x）=（x+1）²-2klnx．
（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；
（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．

Answer

（1）因为要求函数的增区间所以求出f′（x）令其大于零，同时考虑到x＞0，故求出增区间即可；
（2）因为g（x）=f'（x），分区间讨论k的取值并根据a+b≥2当且仅当a=b时取等号的方法求出最小值即可．
解（1）k=2，f（x）=（x+1）2-4lnx．
则f′（x）==＞0，（此处用“≥”同样给分）
注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为（1，+∞）．（写为[1，+∞）同样给分）
（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=．
g（x）=≥，当且仅当x=时，上述“≥”中取“=”．
①若∈（0，2]，即当k∈[-4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；
②若k＜-4，则在（0，2]上为负恒成立，故g（x）在区间（0，2]上为减函数，
，于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6-k．
综上所述，当k∈[-4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；
当k＜-4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6-k．