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高中数学试题
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如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线...
如图,对每个正整数n,A
n
(x
n
,y
n
)是抛物线x
2
=4y上的点,过焦点F的直线FA
n
交抛物线于另一点B
n
(s
n
,t
n
).
(Ⅰ)试证:x
n
s
n
=-4(n≥1);
(Ⅱ)取x
n
=2
n
,并记C
n
为抛物线上分别以A
n
与B
n
为切点的两条切线的交点.试证:|FC
1
|+|FC
2
|+…+|FC
n
|=2
n
-2
-n+1
+1.
(Ⅰ)先设直线AnBn的方程为y-1=knx,然后与抛物线方程x2=4y联立消去y得到x2-4knx-4=0,再由根与系数的关系可得到xnsn=-4,从而得证. (Ⅱ)先根据导数求出抛物线x2=4y在An处的切线的斜率,进而可得到抛物线在An处的切线的方程,同理可得到x2=4y在Bn处的切线方程,然后两切线方程相减整理可得到交点Cn的坐标,然后结合两点间的距离公式可得到整理即可得到,又由于xn=2n可得到|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2= ,最后根据等比数列的前n项和公式可得到最后答案. 证明:(Ⅰ)对任意固定的n≥1,因为焦点F(0,1), 所以可设直线AnBn的方程为y-1=knx, 将它与抛物线方程x2=4y联立得:x2-4knx-4=0, 由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4(n≥1). (Ⅱ)对任意固定的n≥1, 利用导数知识易得抛物线x2=4y在An处 的切线的斜率, 故x2=4y在An处的切线的方程为:,① 类似地,可求得x2=4y在Bn处的切线的方程为:,② 由②-①得:,,∴③ 将 ③代入 ①并注意xnsn=-4得交点Cn的坐标为. 由两点间的距离公式得:=. 现在xn=2n,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得: |FC1|+|FC2|+…+|FCn|=(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2 =.
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考点分析:
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1
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