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函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( ) A....

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)
D.f(x+3)是奇函数
首先由奇函数性质求f(x)的周期,然后利用此周期推导选择项. 【解析】 ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数, ∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1), ∴函数f(x)关于点(1,0), 及点(-1,0)对称, 函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数. ∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4), f(-x+3)=-f(x+3), f(x+3)是奇函数. 故选D
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