Question

在直平行六面体AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的大小．

Answer

（1）连接A1C1，交B1D1于O1，证明四边形AOC1O1为平行四边形，从而由线线平行即AO1∥OC1，推证出线面平行即C1O∥平面AB1D1
（2）先证明平面AB1D1⊥平面A1C，由面面垂直的性质定理可知，过C作平面AB1D1的垂线，垂足一定在交线上，从而∠O1AO就是直线AC与平面AB1D1所成的角，最后在三角形
O1OA中计算此角即可
【解析】
（1）连接A1C1，交B1D1于O1
在矩形ACA1C1中，易得O1C1∥A0，且O1C1=A0
∴四边形AOC1O1为平行四边形
∴AO1∥OC1，∵AO1⊂平面AB1D1；
∴C1O∥平面AB1D1；
（2）∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，
∴B1D1⊥平面A1C，
∴平面AB1D1⊥平面A1C，交线为AO1；
∴点C在平面AB1D1⊥上的射影一定在交线AO1上
∴∠O1AO就是直线AC与平面AB1D1所成的角
在Rt△O1OA中，AO=，O1O=|AB|
∴tan∠O1AO=
∴直线AC与平面AB1D1所成的角为arctan