Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer

（Ⅰ）由Sn+1=3Sn+2，知Sn+1+1=3（Sn+1），由此能够证明{Sn+1}是等比数列．
（Ⅱ）由Sn=3n-1，得到Sn-1=3n-1-1，由此能求出an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=．
（Ⅲ）bn==，由此入手，能够证明b1+b2+…+bn＜1．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn+1=3Sn+2，
∴Sn+1+1=3（Sn+1）
∵S1+1=2+1=3
∴{Sn+1}是首项为3公比为3的等比数列．
（Ⅱ）∵{Sn+1}是首项为3公比为3的等比数列．
∴Sn+1=3×3n-1=3n，
∴Sn=3n-1，
Sn-1=3n-1-1，
∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=．
（Ⅲ）证明：∵Sn=3n-1，，
∴bn===
=，
设，
b1+b2+…+bn＜c1+c2+c3+…+cn
=
＜（1+++…+）
=
=＜1．
∴b1+b2+…+bn＜1．