Question

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，，
（Ⅰ）当a=100，时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令，当2＜a＜3时，求证：．

Answer

（Ⅰ）当a=100时，由题意知数列{an}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，由此能求出S100．
（Ⅱ）当0＜a1≤3时，题意成立．当a1＞3时，an=a1-3（n-1）．设a1∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N*），则当n=k+1时，ak+1=a1-3k∈（0，3]．命题成立．当a1≤0时，a2=4-a1＞3，命题成立．由此能够证明原命题成立．
（Ⅲ）当2＜a＜3时，由，知=．因为bn＞0，所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．由此能够证明＜．
【解析】
（Ⅰ）a=100时，
∵a1=100，当n≥2时，，
∵a1=100，a2=97，…，a33=4，a34=1，a35=3，a36=1，a37=3，…，a100=1，
∴a=100时，
数列{an}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S100=…（3分）
=．…（5分）
（Ⅱ）证明：①若0＜a1≤3，则题意成立…（6分）
②若a1＞3，此时数列{an}的前若干项满足an-an-1=3，
即an=a1-3（n-1）．
设a1∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N*），
则当n=k+1时，ak+1=a1-3k∈（0，3]．
从而此时命题成立…（8分）
③若a1≤0，由题意得a2=4-a1＞3，
则由②的结论知此时命题也成立．
综上所述，原命题成立…（10分）
（Ⅲ）当2＜a＜3时，
因为，
所以=．…（11分）
因为bn＞0，
所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．
而…（13分）
①当n=2k（k∈N*，且k≥2）时，

=
=
=．…（15分）
②当n=2k-1（k∈N*且k≥2）时，
由于bn＞0，所以＜．
综上所述，原不等式成立…（16分）