Question

已知函数为R上奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）当x∈[a，a+1]时，求函数f（x）的最大值．

Answer

（1）由已知函数为R上奇函数，根据函数图象过原点，则f（-x）=-f（x）恒成立，可求a，b值；
（2）任取（0，1）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，判断f（x1）-f（x2）的符号，即可得到函数f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）根据（1），（2）的结论，易得函数f（x）在x=1时取最大值．
【解析】
（1）∵函数为R上奇函数
∴f（0）=0，即a=0
此时
且f（-x）=-f（x）恒成立
即+=0
解得b=0
（2）由（1）得，在（0，1）上为增函数
理由如下：
任取（0，1）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，
则f（x1）-f（x2）
=-
=
=＜0
即f（x1）＜f（x2）
故，在（0，1）上为增函数
（3）由（1）中a=0
∴当x∈[a，a+1]=[0，1]
由（2）中故，在[0，1]上为增函数
可得当x=1时，函数f（x）取最大值