Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4；
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若关于x的不等式f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整数为2，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由题意可利用赋值求解f（1），f（4）
（2）利用函数单调性的定义：设a＞0，则x+a＞x，结合由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0从而可证
（3）结合（1）f（4）=5，及（2）中函数的单调性及f（|x|x+a2x+a）＜f（f（4）•x）可得
当x＞0可得，x2+（a2-5）x+a＜0的解集中的最大整数为2，令g（x）=x2+（a2-5）x+a，则解不等式可求
当x＜0时，此时不符合题意
【解析】
（1）由题意可得f（3）=f（2）+f（1）-1=4，f（2）=2f（1）-1
∴3f（1）-2=4，即f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=2f（2）-1=5
（2）由（1）可得函数为单调递增的函数
证明如下：设a＞0，则x+a＞x
∵由题意可得，当x＞0时，f（x）＞1
∴f（a）＞1
由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0
∴f（x+a）＞f（x）
由函数的单调性的定义可知函数单调递增
（3）∵f（|x|x+a2x+a）＜f（f（4）•x）
由（2）中函数单调递增且f（4）=5可得|x|x+a2x+a＜5x
当x＞0可得，x2+（a2-5）x+a＜0的解集中的最大整数为2
令g（x）=x2+（a2-5）x+a，则
即解可得
当x＜0时，x2+（5-a2）x-a＞0的解集中的最大整数为2，此时不符合题意