Question

已知函数，g（x）=clnx+b，且是函数f（x）的极值点．
（1）求实数a的值；
（2）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若直线l是函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线，且直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x，y），x∈[e^-1，e]，求实数b的取值范围的集合．

Answer

（1）先求出其导函数，利用x=是函数y=f（x）的极值点对应 ，求出a的值；
（2）函数y=f（x）-m有两个零点，转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，利用导函数求出函数y=f（x）的单调区间，画出草图，结合图象即可求出实数m的取值范围．
（3）利用导函数分别求出两个函数的切线方程，利用方程相等，对应项系数相等即可求出关于实数b的等式，再借助于其导函数即可求出实数b的取值范围．（注意范围限制）．
【解析】
（1）x＞0时，f（x）=（x2-2ax）ex，
∴f'（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex，
由已知，∴，
∴
得a=1，所以x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，
∴f'（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex．（3分）
令f'（x）=0得 舍去）．

当x＞0时，
当 时，f（x）单调递减，
当 f（x）单调递增，
∴x＞0时，
要使函数ϕ（x）=f（x）-m有两个零点，即方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，
也即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或 ；
②当b=0时，；
③当b＜0时，．（6分）
（3）假设存在，x＞0时，f（x）=（x2-2x）ex，f'（x）=（x2-2）ex，∴f（2）=0，f'（2）=2e2．
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e2（x-2），
因直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x，y），x∈[e-1，e]，∴y=clnx+b.，
所以切线l的斜率为 ，
所以切线l的方程为：即l的方程为：，
得 ．
得b=2e2（x-xlnx-2）其中x∈[e-1，e]（10分）
记h（x）=2e2（x-xlnx-2）其中x∈[e-1，e]，h'（x）=-2e2lnx，
令h'（x）=0，得x=1．

又h（e）=-4e2，h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．∵x∈[e-1，e]，∴h（x）∈[-4e2，-2e2]，
所以实数b的取值范围为：b|-4e2≤b≤-2e2．（14分）