Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x、y都有f：（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）；
（3）若当x＞0时，有f（x）＞0，则f（x）在R上是增函数．

Answer

（1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，可令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，再对x、y都赋值为0可得结论．
（2）由于f（-3）=a，因此解本题关键是找出f（12）与f（-3）之间的关系，再利用（1）的结论，可求出f（12）．
（3）依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性．
【解析】
（1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f（-3）=a且f（x）为奇函数，
∴f（3）=-f（-3）=-a．
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，
∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=3f（3+3）=4f（3）=-4a．
故f（12）=-4a．
（3）任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞0
∴f（x2）+f（-x1）＞0；
对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x2）-f（x1）＞0
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R上是增函数．