Question

将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P₁，正面向上的次数为偶数的概率为P₂．
（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P₁与P₂；
（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P₁与P₂的大小．

Answer

（I）正面向上的次数为奇数和正面向上的次数为偶数的是对立事件，只要做出其中一个就可以，先做出正面向上的次数是奇数的概率，包括正面向上的次数是1，3，5，7，9，11，13，15，根据独立重复试验公式写出结果，得到两个事件的概率．
（II）表示出两个事件的概率，用p表示，要比较两个事件的概率的大小，只要把两个事件的概率做差即可，整理成最简形式，根据所给的概率的范围，得到结果．
【解析】
（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，
所以正面向上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=
故
（Ⅱ）因为P1=C151p1（1-p）14+C153p3（1-p）12+…+C1515p15，P2
=C15p（1-p）15+C152p2（1-p）13+…+C1514p14（1-p）1，
则P2-P1=C15p（1-p）15-C151p1（1-p）14+C152p2（1-p）13+…+C1514p14（1-p）1-C1515p15=[（1-p）-p]15
=（1-2p）15，
而，
∴1-2p＞0，∴P2＞P1