Question

对函数f（x）=有下列命题：
①f（x）的值域为[-1，1]；
②当且仅当x=2kл+，k∈Z时，该函数取最大值1；
③f（x）是以л为最小正周期的函数； 
④当且仅当2kл+л＜x＜2kл+，k∈Z时，f（x）＜0．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．③
D．④

Answer

由题意可得：函数 ，再根据周期函数的定义结合其图象可得函数的周期等性质即可．
【解析】
由题意可得：函数 ，即 ，作出其图象如图，从图象上可以看出：
①sinx≥cosx，∴+2kπ≤x≤+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-+2kπ＜x＜+2kπ
∴f（x）=，∴f（x）的值域为[-，1]
②当x=+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．
∵f（x+π）=≠f（x）
③∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，
④当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）
综上所述，正确的④，
故选D．