Question

已知函数y=log_ax（0＜a≠1）的反函数y=f^-1（x），给出关于f（x）与f^-1（x）的四个命题：其中正确命题的序号是    ．
①两个函数必有相同的单调性；
②当a＞1时，两个函数的图象没有交点；
③若两个函数的图象有交点，交点一定在y=x上；
④两个函数图象有交点的充分不必要条件为0＜a＜1．

Answer

根据指数函数和同底的对数函数的单调性与底数的关系，可以判断①的真假；根据a＞1时，数函数和同底的对数函数的图象，可以判断②的真假；根据当0＜a＜1时，数函数和同底的对数函数的图象，可以判断③的真假；根据③中结论，结合充要条件的定义，可以判断④的真假；进而得到答案．
【解析】
∵函数y=logax（0＜a≠1）的反函数y=f-1（x）=ax，
∴当a＞1时，原函数和反函数均为增函数，当0＜a＜1时，原函数和反函数均为减函数，
故①两个函数必有相同的单调性正确；
当a＞1时，函数y=logax（0＜a≠1）与函数y=ax的图象分别位置直线y=x两侧，
故两个函数的图象没有交点，故②正确；
当0＜a＜1时，函数y=logax（0＜a≠1）与函数y=ax的图象交于直线y=x上一点
故③若两个函数的图象有交点，交点一定在y=x上正确；
两个函数图象有交点的充要条件为0＜a＜1，故④错误
故答案为：①②③