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定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足: ①对任意x,y∈(-1,1),都有...

定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足:
①对任意x,y∈(-1,1),都有manfen5.com 满分网
②当x∈(-1,0)时,f(x)>0.求证:
(1)f(0)=0;
(2)f(x)在(-1,1)上是减函数;
(3)manfen5.com 满分网
(1)令x=y=0,代入条件关系即可; (2)令-1<x1<x2<1,然后构造f(x1)-f(x2),进而根据函数单调性的定义,进行判断即可; (3)令y=-x,判断函数f(x)的奇偶性,可利用f(x)为奇函数,将要证,转化为:也就是去证明,即证明;而=f(n+2)-f(n+1),利用累加法,结合函数f(x)在(-1,1)上是减函数即可证明结论成立. 【解析】 (1)令x=y=0, 有2f(0)=f(0), ∴f(0)=0; (2)令-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=, ∵-1<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,1-x1•x2>0, ∴, ∴, 即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-1,1)上是减函数; (3)令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数; ∴-f()==,① ,② …   ③ 将上式①②…③n个式子累加有 = =f(n+2)-f(2)=, 又f(x)在(-1,1)上是减函数; ∴, ∴
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考点分析:
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试题属性
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