Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为AD₁中点
（I）求三棱锥C-PDB的体积
（II）在对角线A₁C上是否存在一点Q，使得AD₁∥平面QBD，若存在，求出；若不存在，说明理由．

Answer

（I）由已知中棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为AD1中点，则VC-PDB=CP-BCD，求出棱锥的高和底面面积，代入棱锥体积公式即可求出答案；
（II）连接BC1，DC1，由线面平行的判定定理，易得AD1∥平面BDC1，则直线A1C与平面BDC1的交点即为Q，根据正方体的性质易得到的值．
【解析】
（I）∵P为AD1中点
故P点到底面ABCD的距离等于棱长的一半
又∵S△BCD=
∵VC-PDB=CP-BCD==；
（II）连接BC1，DC1，
∵AD1∥BC1，
∴AD1∥平面BDC1，
令A1C∩平面BDC1=Q
由正方体的几何特征易得A1C⊥平面BDC1，
且A1Q=2QC
故=2