Question

已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．
（I）若c_n=n，n∈N^*，求数列{b_n}的通项公式；
（II）若A∩B=Φ，且数列{c_n}的前5项成等比数列，c₁=1，c₉=8．
（i）求满足的正整数n的个数；
（ii）证明：存在无穷多组正整数对（m，n）使得不等式成立．

Answer

（I）根据已知数列{an}的通项公式an=2n-1，数列{bn}是等差数列，集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}．若cn=n，n∈N*，对元素3、5、6、7进行分析，得出数列{bn}是公差为1的等差数列，分类求出即可．
（II）（i）若A∩B=∅，数列{cn}的前5项成等比数列，且c1=1，c9=8，对元素2进行分类讨论，从而求得 ＞的正整数n的个数．
（ii）由（i）知，数列{cn}是A∪B中的元素按从小到大的顺序排列所得：即1，，2，2，4，3，4，5，8，…，然后利用绝对值不等式进行证明即可．
【解析】
由题意知：
（I）∵A={1，2，…，2n-1，…}，A∪B中的元素按从小到大的顺序记为{cn}，且cn=n，n∈N*；
∵若cn=n，因为5，6，7∉A，则5，6，7∈B
∴等差数列{bn}的公差为1，并且3是数列{bn}中的项；因此，3只可能是数列{bn}中的第1，2，3项，
 当b1=3时，则bn=n+2；
 当b2=3，则bn=n+1；
 当b3=3，则bn=n．
（II）（i）因为A={1，2，…，2n-1，…}，A∪B中的元素按从小到大的顺序记为{cn}，
对集合{cn}中的元素2进行分类讨论：
①当c2=2时，由{cn}的前5项成等比数列，得c4=23=8=c9，显然不成立；
②当c3=2时，由{cn}的前5项成等比数列，得b12=2，∴b1=；
因此数列{cn}的前5项分别为1，，2，2，4；
这样 bn=n，则数列{cn}的前9项分别为1，，2，2，4，3，4，5，8；上述数列符合要求；
③当ck=2（k≥4）时，有b2-b1＜2-1，即数列{bn}的公差d＜1，
∴b6=b1+5d＜2+5=7，1，2，4＜c9；
∴1，2，4在数列{cn}的前8项中，由于A∩B=∅，这样，b1，b2，…，b6以及1，2，4共9项，
它们均小于8，即数列{cn}的前9项均小于8，这与c9=8矛盾，所以也不成立；
综上所述，bn=n；
其次，当n≤4时，=＞，=＜，=＞，
当n≥7时，cn≥4，因为{bn}是公差为的等差数列，所以 cn+1-cn≤，
所以==1+≤1+=，此时的n不符合要求．
所以符合要求的n一共有5个．
（ii）证明：由（i）知，数列{cn}是A∪B中的元素按从小到大的顺序排列所得：
即1，，2，2，4，3，4，5，8，…，
对于正整数对（m，n），当m≠n时，有cm≠cn；
∴|cn+1+cm-cn-cm+1|＞0，
由|cn+1+cm-cn-cm+1|=|（cn+1-cn）-（cm+1-cm）|≤|cn+1-cn|+|cm+1-cm|≤2|cn+1-cn|=2|n′-2n-1|，
令2|n′-2n-1|＜，则|n′-2n-1|＜．
∴存在无穷多组正整数对（m，n）使得不等式成立．