Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a
（1）若f（x）≤0在R上恒成立，求a的取值范围．
（2）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer

（1）讨论a 是否为0，当a≠0时，利用二次函数恒小于0，即开口向下，△＜0即可解决；
（2）讨论a 是否为0，当a≠0时，考虑△=0的情况以及在[-1，1]上具有单调性用零点定理解决．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=2x-3≤0在R上不可能恒成立，不合题意，∴a≠0（2分）
当a≠0时，必需，解得（5分）
综上，a的取值范围为（6分）
（2）①当a=0时，f（x）=2x-3，显然在[-1，1]上没有零点，所以a≠0．（8分）
②当a≠0时，1°△=4+8a（3+a）=8a2+24a+4=0且，解得（11分）
    2°f（-1）•f（1）=（a-1）（a-5）＜0，解得1＜a＜5（13分）
综上，a的取值范围为（1，5）∪（14分）