Question

已知，其中a为常数．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若（0，e]时，函数f（x）的最大值为-1，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，求证：．

Answer

（1）利用奇偶性的定义解决该函数奇偶性的问题，注意分段函数蕴含的分类讨论思想；
（2）确定函数在何处取到最大值，注意单调性的运用，列出关于实数a的方程，通过解方程求出实数a的值；
（3）利用第二问的结论建立一个常见的不等式，通过该不等式利用对数的运算性质放缩证明出所要证明的不等式．
【解析】
（1）当x∈[-e，0）时，则-x∈（0，e]
∴f（-x）=a（-x）+ln（-x）=-ax+ln（-x）=-f（x）
当x∈（0，e]时，则-x∈[-e，0）
∴f（-x）=a（-x）-lnx=-ax-lnx=-（ax+lnx）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
（2）假设存在满足条件的实数a
①时，由于x∈（0，e]，∴
∴f（x）在x∈（0，e]上是增函数
∴f（x）min=f（e）=ae+1=-1（舍去）
②时，令
则f（x）上递减，上递增
∴，解得a=-1
综合①②可知a=-1；
（3）由（2）知，f（x）=lnx-x≤-1，x∈（0，e]
∴lnx≤x-1（当且仅当x=1时取“=”）
∵∴
∴
=
∴．