Question

如图，在三棱锥P-ABC中，，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求PC的长度；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

Answer

（1）证明由面面垂直的性质BC⊥PA，又AB⊥BC，得到BC⊥平面PAB，进而证明PA⊥BC；
（2）先求AB，再求BC，用勾股定理计算PC的长度；
（3）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，证明，∠PMO是二面角P-AC-B的平面角，在Rt△AMO中，求出 PO 和OM，可求∠PMO的正切值．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB．（3分）
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．（4分）
（Ⅱ）∵，PA⊥PB，∴．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，∴BC=AB•tan30°=2．（7分）
∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴．（9分）
（Ⅲ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．∵平面PAB⊥平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．（12分）
在Rt△AMO中，，
易知AO=PO，
∴，（13分）
即二面角P-AC-B的大小是arctan2（14分）