Question

已知斐波那契数列{F_n}满足：F₁=1，F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N*），若数列{F_n+1+λF_n}是等比数列（λ为实常数）．
（1）求出所有λ的值，并求数列{F_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer

（1）设Fn+2+λFn+1=q（Fn+1+λFn）（q≠0）则Fn+2=（q-λ）Fn+1+qλFn，又因为Fn+2=Fn+1+Fn，所以，由此能够求出所有λ的值，并求出数列{Fn}的通项公式．
（2）由Fn＞0，知Fn+2=Fn+1+Fn＞Fn+1，{Fn}为递增数列．所以Fn+2=Fn+1+Fn＞Fn+Fn，即Fn+2＞2Fn．由此入手能够证明．
【解析】
（1）设Fn+2+λFn+1=q（Fn+1+λFn）（q≠0），
则Fn+2=（q-λ）Fn+1+qλFn
又因为Fn+2=Fn+1+Fn
∴，
解得------（3分）；
∴
∴
两式相减得，----（8分）；
（2）证：显然Fn＞0，
∴Fn+2=Fn+1+Fn＞Fn+1，
∴{Fn}为递增数列．
∴Fn+2=Fn+1+Fn＞Fn+Fn，
即Fn+2＞2Fn----（12分）；
∴F7＞2F5=2×5，F9＞2F7＞22F5=22×5，…，
F2007＞2F2005＞22F2003＞…＞21001F5=21001×5
∴F8＞2F6=2×8，F10＞2F8＞22F6=22×8，…，
F2006＞2F2004＞22F2002＞…＞21000F6=21000×8---（16分）；
+=×∴
--（20分）；