Question

已知函数的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

Answer

（1）化简函数f（x），考察函数的定义域再利用函数的奇偶性的定义直接求解即可；
（2）任取设x1＜x2我们构造出f（x1）-f（x2）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x1）-f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（3）由（1）知f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）再结合函数的单调性脱掉函数符号：“f”转化为绝对值不等式组求解即得．
【解析】
（1）由得，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）设x1＜x2，则，
①如果x1，x2∈（-1，0），那么x1+x2＜0，故f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）；
②若x1，x2∈（0，1），则x1+x2＞0，故f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
（3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故，即，
解得，从而原不等式的解集为．