Question

若实数a＞0且a≠2，函数f（x）=ax³-（a+2）x²+2x+1．
（1）证明函数f（x）在x=1处取得极值，并求出函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）可以求出函数的导数，利用导数研究单调区间，对于含有一个参数的单调区间问题，要注意讨论参数a的情况，即：0＜a＜2和a＞2来进行讨论，要对x，以及f（x），f′（x）的变化情况表列正确．
（2）本题可以转化为函数f（x）在区间（0，+∞）上f（x）极小值＜1即可解答，可以利用（1）的结论，注意对参数a的讨论．
【解析】
（1）由已知可得：   （2分）
当a＞2时，自变量x，以及f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x                       1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

∴函数在x=1处取得极值，f（x）的单调递增区间是，（1，+∞）
单调递减区间是  （4分）
当0＜a＜2时自变量x，以及f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x （-∞，1） 1  
f′（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

∴函数f（x）在x=1处取得极值，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和，单调递减区间是   （6分）
（2）因为f（0）=1，由（1）知要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＜1成立，
只需在区间（0，+∞）上f（x）极小值＜1即可   （8分）
当a＞2时，f（x）极小值=f（1）=2-＜1，所以a＞6
当0＜a＜2时，恒成立，
所以
综上所述，实数a的取值范围为  （12分）