Question

设f（x）是定义在[2m，2-m]上的奇函数，且对任意a，b∈[2m，2-m]，a-b≠0时，都有．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）解不等式f（2x-3）＞f（x+1）．

Answer

（Ⅰ）奇函数的定义域关于原点对称，可求实数m的值；（Ⅱ）利用条件证得函数f（x）在[-4，4]上是单调减函数，从而可解不等式．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）是定义在[2m，2-m]上的奇函数，所以2m+2-m=0，m=-2．
（Ⅱ）m=-2时，f（x）的定义域为[-4，4]
设x1，x2∈[-4，4]且x1＜x2，则x1-x2＜0∵对任意a，b∈[-4，4]，当a-b≠0时，都有．∴∵x1-x2＜0∴f（x1）＞f（x2）∴f（x1）-f（x2）＞0
所以，函数f（x）在[-4，4]上是单调减函数．
由f（2x-3）＞f（x+1）得解得，
所以原不等式的解集为．