Question

正项等比数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，S₃=13
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，且b₂=5，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，设A_n=a_nb_n，求{A_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）先由a1=1以及S3=13求出等比数列的公比，即可得到{an}的通项公式；（注意是正项等比数列，公比为正）．
（Ⅱ）先由条件b2=5，以及a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列求出等差数列{bn}的通项公式；再利用错位相减法求出{An}的前n项和Tn即可．
【解析】
（Ⅰ）设公比为q，则S3=1+q+q2=13，
∴q2+q-12=0
∴q=3或q=-4

（Ⅱ）设{bn}的公差为d，由b2=5，可设b1=5-d，b3=5+d
又a1=1，a2=3，a3=9，由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=-10
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0∴d=2，∴b1=5-d=3
∴bn=b1+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1
∵An=anbn=（2n+1）•3n-1
则Tn=3+5×3+7×32+9×33+…+（2n+1）3n-1①
∴3Tn=3×3+5×32+7×33+9×34+…+（2n+1）3n②
由①-②得-2Tn=3+2×（3+32+33+…+3n-1）-（2n+1）3n
=3+2=3-3+3n-（2n+1）3n=-2n•3n
∴Tn=n•3n