Question

已知椭圆的一个顶点A与抛物线的焦点重合，离心率
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：y=kx-2（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N满足，求k．

Answer

（1）设，依题意得，由此能求出椭圆方程．
（2）由，知AP⊥MN，且点P线段MN的中点，由，得（1+3k2）x2-12kx=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x，y），则，．由k≠0，知直线AP的斜率为，由MN⊥AP，解得．
【解析】
（1）设，依题意得，即
∴a2=3b2=12，即椭圆方程为．
（2）∵∴AP⊥MN，且点P线段MN的中点，
由消去y得x2+3（kx-2）2=12，即（1+3k2）x2-12kx=0（*）
由k≠0，得方程（*）的△=（-12k）2=144k2＞0，显然方程（*）有两个不相等的实数根．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x，y），
则，∴
∴，即∵k≠0，∴直线AP的斜率为，
由MN⊥AP，得，
∴2+2+6k2=6，解得：，