Question

已知函数的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为，
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1999对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（3）求证：．

Answer

（1）由函数f（x）=mx3-x，可求出f'（x）的解析式，根据以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 ，构造方程可以求出m的值，进而求出n值，
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数的解析式，由于f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，
我们可以求出x∈[-1，3]的最大值，进而确定满足条件的k值；
（3）根据（1）中函数的解析式，根据三角函数的值域和基本不等式，我们分别求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和 的最小值，对比后即可得到答案．
【解析】
（1）f'（x）=3mx2-，
依题意，得f'（1）=，即3m-=1，m=．…（2分）
∵f（1）=n，∴．…（3分）
（2），令f'（x）=x2-=0，得 ．…（4分）
当 时，f'（x）＞0；
当 时，f'（x）＜0；
当 时，f'（x）＞0．
∵x∈[-1，3]时，k-1999≥f（x）max=11
∴k≥2010∴存在最小的正整数k=2010，
使得不等式f（x）≤k-1999对于x∈[-1，3]恒成立；…（9分）
（3）|f（sinx）+f（cosx）|====≤…（11分）
又∵t＞0，∴，．
∴==．…（13分）
综上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）