Question

如图，在△ABC中，，，L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
（1）求的值．
（2）判断的值是否为一个常数，并说明理由．

Answer

法一：（1）由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
（2）将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：（1）由题意可以以BC所在直线为X轴，DE所在直线为Y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
（2）设E点坐标为（0，y）（y≠0），表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可
【解析】
法1：（1）由已知可得，，
∴
=
（2）的值为一个常数∵L为L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
∴，
故：=
解法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为X轴，L所在直线为Y轴建立直角坐标系，可求A（），
此时，，
（2）设E点坐标为（0，y）（y≠0），
∴，
∴（常数）．