Question

证明：对于任意实数x，y都有x⁴+y⁴≥．

Answer

本题可用分析法来解答，分析法：证明使x4+y4≥成立的充分条件成立，
证明：要证x4+y4≥，只需证明2（x4+y4）≥xy（x+y）2，
即证2（x4+y4）≥x3y+xy3+2x2y2，---------------------------（4分）
只需x4+y4≥x3y+xy3与x4+y4≥2x2y2同时成立即可，
又知x4+y4-2x2y2=（x2-y2）2≥0，即x4+y4≥2x2y2成立，
只需再有x4+y4≥x3y+xy3成立即可，--------------------（8分）
由于x4+y4-x3y-xy3=（x-y）（x3-y3）
∵x-y与x3-y3同号，∴（x-y）（x3-y3）≥0，即x4+y4≥x3y+xy3成立，
∴对于任意实数x，y都有x4+y4≥成立--------------（12分）