Question

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和y=ax²+x-9都相切，求实数a的值．

Answer

设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax2+x-9都相切，联立方程组，△=0可求出所求．
【解析】
设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x，y），
则，则切线的斜率k=3x2=0或k=，
若k=0，此时切线的方程为y=0，
由，
消去y，可得ax2+x-9=0，
其中△=0，即（）2+36a=0，
解可得a=-；
若k=，其切线方程为y=（x-1），
由，
消去y可得ax2-3x-=0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1．
故a=-或-1．