Question

设曲线y=bx²+cx在点x处的切线斜率为k（x），且k（-1）=0，对一切实数x，不等式恒成立（a≠0）．
（1）求k（1）的值；
（2）求函数k（x）的表达式；
（3）求证：．

Answer

（1）根据题意，在恒成立的不等式中，令x=1，可得1≤k（1）≤1，即可得答案；
（2）先对曲线方程求导可得k（x）=ax2+bx+c，已知k（-1）=0和由（1）求得的k（1）=1，可得关于a、b、c的关系式，又由恒成立，对变形可得，ax2+x+c≥0且（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立；根据二次函数的性质，可得关于ac的关系式，联系可得a、b、c的值，即可得k（x）的表达式；
（3）由（2）得到的k（x）的表达式，可得则=，由不等式的性质，可得则＞=2（-），即可得＞2（-）；代入则=++…+中，运用放缩法，可证明不等式．
【解析】
（1）根据题意，对一切实数x，不等式恒成立，
则当x=1时，有1≤k（1）≤=1，
即1≤k（1）≤1，
则k（1）=1
（2）对曲线方程求导可得k（x）=ax2+bx+c，
k（-1）=0，则a-b+c=0------①
由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②
由①②得a+c=，b=；
则k（x）=ax2+x+c，
又由恒成立可得，
ax2-x+c≥0且（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立；
由ax2+x+c≥0恒成立可得a＞0，≤4ac，
由（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）
得0＜a＜，且≤ac≤
ac=，
且a+c=，则a=c=，
则k（x）=x2+x+=（x+1）2；
证明：（3）由（2）可得k（x）=（x+1）2，则=＞=2（-），
即＞2（-）；
则=++…+＞2（1-）-2（-）+…+2（-）＞2（1-）＞；
即不等式可证．