Question

已知（1+3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer

（1）根据展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，利用二项式系数为Cnr，列出方程求出n值，由于n为奇数，故可知展开式的中间两项二项式系数最大．
（2）利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，利用展开式中最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数求出展开式中系数最大的项．
【解析】
由题意，∵末三项的二项式系数分别为Cnn-2，Cnn-1，Cnn
∴Cnn-2+Cnn-1+Cnn=121
∴Cn2+Cn1+Cn=121即n2+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
（1）∴Tr+1=C15r（3x）r=C15r3rxr
设第r+1项与第r项的系数分别为tr+1，tr
令tr+1=C15r3r，tr=C15r-13r-1
∴tr+1≥tr则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时，都有tr＜tr+1当r=12时，tr+1=tr
∴展开式中系数最大的项为T12=C1511311x11和T13=C1512312x12
（2）Tr+1=C15r（3x）r=C15r3rxr
设第r+1项与第r项的系数分别为tr+1，tr
令tr+1=C15r3r，tr=C15r-13r-1
∴tr+1≥tr则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴当r取小于12的自然数时，都有tr＜tr+1
当r=12时，tr+1=tr
∴展开式中系数最大的项为T12=C1511311x11和T13=C1512312x12