Question

已知函数f（x）=e^2x-ae^x+x，x∈R．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，ln2）上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出其导函数f'（x）=2e2x-3e2x+1=（2ex-1）（ex-1），再利用导函数值的正负求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，ln2）上是单调递增函数⇔f'（x）=2e2x-aex+1≥0，x∈（0，ln2）恒成立⇔对任意x∈（0，ln2）恒成立，下面再利用函数的单调性求出不等式右边的最大值即可求实数a的取值范围．
【解析】
f'（x）=2e2x-aex+1
（Ⅰ）当a=3时，f'（x）=2e2x-3e2x+1=（2ex-1）（ex-1）
令f'（x）＜0，得，-ln2＜x＜0
令f'（x）＞0，得或ex＞1，x＜-ln2或x＞0
∴f（x）在（-∞，-ln2），（0，+∞）上递增，在（ln2，0）上递减．
从而，f（x）极大值=f（-ln2）=--ln2，f（x）极小值=f（0）=-2．
（Ⅱ）令f'（x）=2e2x-aex+1≥0，x∈（0，ln2），
即对任意x∈（0，ln2）恒成立，
令t=ex，t∈（1，2），
又令，易知h（t）在（1，2）上为增函数
∴h（t）＞3，故a≤3