Question

设a₁，a₂，a₃，a₄，a₅为自然数，A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，并满足A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，A∪B中各元素之和为256，求集合A？

Answer

先由条件求出a1=1，a4=9，故有 a2=3或a3=3．①若a3=3时，a2=2，由A∪B中各元素之和为256，
求出a5=12，从而得到A．
②若a2=3时，则3＜a3＜9，由A∪B中各元素之和为256，只有当a3=5时，a5=11，从而求得A，综上可得结论．
【解析】
由A∩B={a1，a4}，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5 ，所以只可能a1=a12，即a1=1．由a1+a4=10，得a4=9．
且a4=9=ai2（2≤i≤3），∴a2=3或a3=3．…（2分）
①若a3=3时，a2=2，此时A={1，2，3，9，a5}，B={1，4，9，81，a52}．
因a52≠a5，故1+2+3+9+4+a5+81+a52=256，从而a52+a5-156=0，解得a5=12．
所以A={1，2，3，9，12}．…（5分）
②若a2=3时，此时A={1，3，a3，9，a5}，B={1，9，a32，81，a52}．
因1+3+9+a3+a5+81+a32+a52=256，从而a52+a5+a32+a3-162=0．
因为a2＜a3＜a4，则3＜a3＜9．当a3=4、6、7、8时，a5无整数解．
当a3=5时，a5=11．所以A={1，3，4，9，11}．…（8分）
综合可得，A={1，2，3，9，12}，或A={1，3，4，9，11}．