Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明；
（3）求使2≤|f（x）|≤6成立的x的取值范围．

Answer

（1）令x=y=0可得f（0）=0，再令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），进而根据奇函数的定义得到函数的奇偶性．
（2）在定义域内任取x1＜x2，则x2-x1＞0，可得f（x2-x1）＜0，再根据题意可得：f（x1）-f（x2）=-f（x2-x1）＞0，进而根据减函数的定义得到答案．
（3）根据题意可得：f（3）=-6，f（-1）═2，f（-3）=6，即可得到f（3）≤f（x）≤f（1），f（-1）≤f（x）≤f（-3），进而根据函数的单调性得到x的取值范围．
【解析】
（1）证明：令x=y=0，则有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，（2分）
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．（4分）
（2）在定义域内任取x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x2-x1）＜0，（6分）
又∵f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0．（8分）
∴f（x1）＞f（x2），
∴y=f（x）在R上为减函数．（9分）
（3）∵f（1）=-2，
∴根据题意可得：f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，
∴根据函数的奇偶性可得：f（-1）=-f（1）=2，f（-3）=6，（10分）
∵2≤|f（x）|≤6，
∴-6≤f（x）≤-2，或2≤f（x）≤6                   （12分）
∴f（3）=-6≤f（x）≤-2=f（1），f（-1）=2≤f（x）≤6=f（-3）
又∵f（x）是R上的减函数．
∴1≤x≤3或-3≤x≤-1，
∴x的取值范围为[-3，-1]∪[1，3]．（14分）